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波普尔说二加二不等于四，你怎样看
一
我正在读波普尔的《猜想与反驳》，这主要是因为我对证伪主义的了解，只是间接性地。因此，我有必要读一读《猜想与反驳》。然而，在阅读过程中，有些问题困扰着我，使我无法继续。这其中的一个问题，就是波普尔对二加二等于四的质疑。
该书第九节题目为，“逻辑演算和算术演算为什么可应用于实在”，这一节中，波普尔写道：“在这种意义上，‘2+2=4’’可认为意味着，如果某人把两只苹果放在某个篮子里，然后再放入两只，并且没有从这篮子里取出任何苹果，那么，这篮子里就有四只苹果。按这样的解释，陈述‘2+2=4’帮助我们计算，即描述某些物理事实，而符号‘+’代表一种物理操作——代表物理上把某些东西加在另一些东西之上。我们在这里看到，描述性地解释一个显然逻辑的符号有时是可能的。但是，在这种解释中，陈述‘2+2=4’成为一种物理理论，而不是一种逻辑理论；结果，我们无法肯定它是否保持普遍地真。事实上，它并不保持普遍地真。它可能对苹果来说是成立的，但它对兔子就很难成立。如果你放2+2只兔子在一个篮子里，你可能不久发现这篮子里有7只或8只兔子。它也不适用于像水滴这样的事物。如果你在一个干燥的烧杯里滴入2+2滴水，你绝不可能从中取出四滴水来。换句话说，如果你对‘2+2=4’不适用的一个世界会是怎样的世界感到疑惑，那么，你的这种好奇心是很容易满足的。一对不同性别的兔子或几滴水可以作为这样一个世界的模型。如果你回答说，这些例子不那么适当，因为这些兔子和水滴发生了某种变化，还因为方程‘2+2=4’只适用于那些没有发生什么变化的对象，那么，我的回答是，如果你用这种方式解释的话，那么，它对‘实在’并不成立(因为在‘实在’中，始终发生着变化)，而只对在其中什么变化也不发生的、由独特对象组成的抽象世界成立。显然，就我们的实在世界和这样的抽象世界相似而言，例如就我们的苹果不腐烂或仅仅很慢地腐烂而言，或就兔子或鳄鱼碰巧不生育而言，换句话说，就物理条件和纯逻辑的或算术的加法运算相似而言，算术当然是适用的。但是，这是很浅薄的。”从这一段话中，我们可以看出，波普尔认为，“二加二等于四”，是一种物理理论，而不是一种逻辑理论，它可能对苹果来说是成立的，但对有些事物比如兔子就很难成立。它对始终发生着变化的实在世界并不成立而只对在其中什么变化也不发生的、由独特对象组成的抽象世界成立。因而并“不保持普遍地真”。
“二加二等于四”“不保持普遍地真”，那么，一定存在着保持普遍真的东西。不错，波普尔告诉我们，这种东西就是推理规则。他写道：“推理规则总是关于陈述的陈述，或关于陈述类的陈述(它们是‘元语言的’)”，“推理规则是关于可演绎性的非条件陈述”。也就是说，推理规则是无条件的。“逻辑规则，或更确切地说，推理规则，是程序的规则。这意味着，它们适用于某些程序，而不是事物或事实。如果我们说的‘实在’是指例如科学家和历史学家描述的事物或事实的话，那么，这些规则并不适用于实在。”“逻辑规则适用于进行推理的程序，可以和公路规章适用于骑自行车或驾驶汽车的程序相比拟。逻辑规则可以被遵守或违反，运用逻辑规则并不意味着使它们去适合，而是意味着遵守它们，按照它们行动。”推理规则，只适用于理性世界，是理性所应遵循的规则。因而，“逻辑从根本上说不是关于逻辑自明之理的学说；它主要是关于正确推理的学说。”也就是说，推理规则只讲形式的正确，而不管其内容的真理性。推理规则“保持普遍地真”，具有一定的普遍性。
其实不然，同“二加二等于四”一样，推理规则也不“保持普遍地真”！
正因为实在世界存在着公路，和行驶在公路上的汽车，所以才有了驾驶汽车须遵守的公路规章。由此可见，公路规章并不是凭空产生的，它恰恰来自实在世界。推理规则也一样，也是来自实在世界。人们在交流思想的过程中，为了使自己的意见、想法、意图、观点等被人们所了解，总是采用一些论证方法，这些被普遍遵守的方法就是推理规则。推理规则，产生于人们交流思想的实在世界。因而，实在世界是推理规则产生的源泉。在推理的过程中，人们之所以要遵守推理规则，并不仅仅因为形式正确，而是因为它使我们的意见、想法、意图、观点等，能够很好地符合事实。因此，推理规则不仅来自实在世界，而且更为重要的是要适用于实在世界。这就要求推理规则不仅仅形式正确，还要求内容符合事实。如果有人说“过去每天早上太阳从东方升起，所以明天早上太阳不会从东方升起”，一定会被人嗤笑的，但它的推理形式却是对的。因此，推理规则，并不是无条件的，而是有条件的。实际上，波普尔在说“推理规则是关于可演绎性的非条件陈述”，和“它们适用于某些程序，而不是事物或事实”时，就已经为推理规则规定了条件，怎么能说推理归则无条件呢？推理规则不仅仅形式正确，还要求内容与事实相符合，它是受实在世界制约的。
推理规则同“二加二等于四”一样也不“保持普遍地真”，它仅仅只是在一定的范围内才是正确的。
二
二加二等于四不可能等于五，正如七加五等于十二不可能等于十三一样，是连小学生都知道的常识，是人人皆知的真理。但是，波普尔指出，二滴水加二滴水不等于四滴水，二只兔子加二只兔子也并一定等于四只兔子，有可能是七只或八只。波普尔是对的。其实，二加二等于四，只是就十进位制而言的。在十进位制中，2＋2＝4，在二进制中2＋2＝100，在四进制中2＋2＝10。也就是说，并不是在任何情况下，二加二都等于四；二加二等于四是有条件的。二加二等于四，只是就一定的范围而言的，只是在一定的范围内才是正确的！
然而，引起我们关注的不是二加二等于四本身，引起我们关注的是，不“保持普遍地真”，只是在一定的范围内才是正确的，并非只有二加二等于四如此。
我们再看一个例子，比如经典物理学。
到十九世纪末，经典物理学取得了极其辉煌的成就。在大多数科学家眼里，经典物理学的发展已接近峰顶，不可能再向前发展了。然而就在此时，三大发现的出现对经典物理学中的质量、能量、运动等基本概念，产生了前所未有的猛烈冲击，经典物理学也有它无法解释的现象。也就是说，经典物理学同二加二等于四一样，也不“保持普遍地真”，也只是在一定的范围内才是正确的。
三
只是在一定的范围内才是正确的，产生这种现象原因是什么呢？
产生这种现象的原因，在于观察的范围性！
对于观察，休谟之后的哲学家，大都不屑一顾。细想也是，观察不就是看，眼睛正常的人谁不会看，又是谁不在看？
然而，正是这些不屑一顾的现象，使我们过于的自信，就连我们的哲学家也常常流露出这种自信。无论休谟、康德、还是波普尔，都相信存在着“普遍地真”的东西。
其实，恰恰正是这些不屑一顾的现象，制约着我们的观察，使“普遍地真”的东西成为不可能。
这是因为，人类的眼睛看到只是某一范围的东西。
包括理论在内的结论的形成，受着主体和客体两方面的制约。
系统论认为，世界上的万事万物，都是由部分组成的整体，具有整体性。我们看到的都只是部分，而无法看到其整体。我们观察到只是某一范围的东西。观察的这一特征，称之为观察的范围性。
观察具有一定的范围性，其判决性证据是海森堡的测不准原理。海森堡的测不准原理的实质是：我们的观察具有一定的范围性。
客体并不是一个平面，而是立体的，是由部分组成的整体，具有整体性。客体的这种整体性的特征，制约着我们的观察。另外，人类眼睛的结构特征，也制约着我们的观察。主体和客体的双重制约，使我们只能观察到某一范围的东西。由于观察的只是某一范围的东西，那么由此得出结论也必然具有范围性的特征。
实际上，不论是2＋2＝4还是推理规则，不论是经典物理学还是量子力学，不论是证实主义还是证伪主义，总之，在我们认识世界改造世界的过程中，我们认识所涉及的一切领域,无论是科学、哲学、文化、政治等领域，还是其它的任何领域，所发现的具有规律性的东西，以及反映事物本质特征的东西，也就是我们常说的真理的东西，我把这一切统称为结论，都不“保持普遍地真”，都仅仅只是在一定的范围内才是正确的。
四
对观察对象的忽略，对客体整体性的不屑一顾，这正是传统哲学的局限，波普尔也自然受这局限的影响。这就是把我们观察的对象当作一个平面看待！把我们观察的对象、即客体，当作一个平面看待，是传统哲学的一个重要特征。对“保持普遍地真”的东西的孜孜追求，是哲学们的主要工作之一，他们的思维模式集中表现为：我是对的，别人一定是错的。这正是把我们观察的对象当作一个平面看待的必然结果。
凡我们的眼睛能看到的事物，都是由部分组成的整体，具有整体性；我们只能观察到部分，而无法观察到整体。这再平常，再熟悉，再简单不过。但是，大道至简，或着说至简大道，这种看似平常简单的现象，却隐含着某种规律性的东西。比如类似苹果落地的现象，再平常不过，但是牛顿研究了它，发现了万有引力定律。
违反，规律就会受到规律的惩罚。休谟以及波普尔对归纳的质疑，正是把客体当作一个平面看待的具体表现。其结果是，导致对科学合理性的怀疑，不仅如此，休谟问题的解决，使许多哲学家陷入虽殚精竭虑却有无法解决的困境。同样，波普尔对“二加二等于四”的质疑，也是这样。他正确地指出“二加二等于四”不“保持普遍地真”，然而对“二加二等于四”在一定的范围内保持“保持普遍地真”，却无法解释。
五
虽然“二加二等于四”不“保持普遍地真”，但它在一定的范围却有此特性。在一定的范围内，“二加二等于四”是我们普遍遵守的规则。你在农贸市场买了四只兔子，如果按照波普尔的说法，那你得付给商家七只或八只的钱才对。真这样，你一定不乐意，在市场交易中更不会这样算帐的。不错两只公兔两只母兔通过生育，是会产生七只或八只兔子的，但这需要时间，需要一个过程。我们只能看到兔子现在的状况，它是四只，我们只能看见已成为事实的状态。至于兔子以后的发展状态，在没有形成事实之前，我们只能预测而无法确定，因而无法观察到。
在一定的时间和空间内，对事物的观察，我们只能观察到是已成为事实的发展状态；事物是在一定的时间和空间内运动发展的，时间和空间也是影响事物发展的重要因素，但是，这一重要因素却被波普尔忽略了。“二加二等于四”这种算术理论，所归纳的现象，与放2+2只兔子以及2+2滴水等现象，分别属于不同范围的现象，然而波普尔却把不同范围的现象混在了一起。正如波普尔所说，“二加二等于四”不“保持普遍地真”，因而不适用于实在世界，虽然如此，但它在实在世界的某一范围内却是适用的。在一定的范围内，“二加二等于四”“保持普遍地真”，具有一定的真理性，是我们日常生活科学研究所必须遵守规则。正因为此，它才是我们从小就应学习掌握的理论知识。波普尔对“二加二等于四”的质疑，是对一种算术理论的根本否定。
六
波普尔之所以质疑“二加二等于四”，是为了给他的证伪主义提供根据。
《猜想与反驳》一书的中心论点是：衡量一种理论的科学地位的标准是它的可证伪性或可反驳性或可检验性。在他看来所谓的知识只是一种假说，“二加二等于四”，也是如此，也是一种假说。因为，所有的知识都可以用归纳予以证实的。在他看来，归纳推理是从单称判断到全称判断的推理，因而是不合理的，是无效的。他举例说，归纳可以证明天鹅是白的，但不能证明所有的天鹅都是白的。同样的道理，归纳可以证明“二加二等于四”，但它不能证明所有的“二加二都等于四”。“二加二等于四”“不保持普遍地真”，不适用于实在世界。他之所以质疑“二加二等于四”，正是传统哲学局限性的具体表现，因为在传统哲学看来，一种理论是正确的，那么另一种理论一定是错误的，因为真理只有一个。因此，为了论证他的证伪主义，他必须论证证实主义是错的。然而在实际操作中，波普尔在反对归纳的同时，却不可避免地采用着归纳。因为，你要人们接受证伪主义，归纳法是不得不用的工具。
实际上，波普尔对“二加二等于四”的质疑，只是由于他站的角度不同，观察的范围不同罢了。如果甲乙两人同时观察某一纪念碑，但是，甲观察的是正面，乙观察的是反面，他们观察的是同一座纪念碑，却有可能对纪念碑的描述和得出的结论是不同的。波普尔对证实主义的质疑也是这样，虽然，证实主义和证伪主义，他们观察的都是科学与非科学的划界问题，但和甲乙两人观察纪念碑情形是一样的。我们的观察对象，无论是直观的还是抽象的，它都是由部分组成的整体，具有整体性。科学与非科学的划界问题也是这样，它也是由部分组成的整体，具有整体性。证实主义和证伪主义，他们观察的都是组成这一整体的部分。正如证实主义观察不到证伪主义的那一面一样，证伪主义也观察不到证实主义那一面。因此，无论证实主义还是证伪主义，它们都仅仅只是某一范围的东西。我们说证实主义是对的，或者说证伪主义是对的，仅仅只是就一定的范围而言的。无论是证实主义还是证伪主义，都仅仅只是在一定的范围内才是正确的，它们都有各自无法解释的现象。其实，科学与非科学划界的标准，是它的可证实性，同时又是它的可证伪性，二者缺一不可。一个理论的科学性的基本特征在于，它必须是被证实的，也必然是被证伪的。
爱因斯坦的相对论是对牛顿力学的证伪，量子论是对经典物理学的证伪，但这只是指出，牛顿力学经典物理学，只适用于宏观世界，它所揭示是宏观世界物质运动变化的规律，它仍然是我们应当必须学习掌握的科学知识，仍然是我们在生产实践和科学实验中必须严格遵守的规则，仍然在它适用的范围大放异彩。比如在航天航空方面的应用就是很好的例子。证伪不是说这个理论错了，应当被推翻，应当被否定。证伪只是指出这一理论适用的范围界限，仅此而已！在它适用的范围，这个理论仍“保持普遍地真”，仍具有一定的真理性。我们应当这样理解证伪主义！
七
但是，波普尔对“二加二等于四”的质疑，却有着十分重大的意义，尤其对我们的理论界更是如此，因为它的实质是任何理论都是可证伪的。
波普尔的证伪主义是对哲学的最大贡献。科学与非科学划界的标准是它的可证伪性。怎样解释怎样正确，无处不适用无处不正确，恰恰正是非科学的标志。波普尔举占星术为例，占星术士总是把“预言讲得非常含糊，使预言简直不会失败，这是典型的占卜者的伎俩，使预言变得无从反驳。”他对他占卜的结果可以作多种解释，从而使他总是对的。当一种理论被大肆宣扬，面对出现的证伪事例，其追随者惯用的手法是，重新解释这个学说，以便使事例与这个学说相符合，如此营救这个学说不至受到反驳，从而保证这个学说处在始终正确的地位上。波普尔批评说，这是一种“占卜者的做法”，“这样他们营救这个学说不至受到反驳；……就破坏了这个理论所大肆宣扬的科学地位。”这不是维护理论，而是在贬低理论，是将理论由科学贬低为像占星术那样的非科学。
任何理论或结论，都仅仅只是在一定的范围内才是正确的！不受范围约束的“保持普遍地真”的理论或结论是根本不存在的！这一点，波普尔的证伪主义，作了很好的回答。
波普尔论马克思主义
合式公式
若用，…表示真值确定的简单命题，则称，…为命题常项，命题常项的真值是确定不变的，不是为1，就是为0。
若用，…泛指简单的陈述句，则称，…为命题变项，此时，…是变量，它们的取值为1或0。
命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式。因此，必须给出命题公式的严格定义。
定义1.6
(1)单个命题常项或变项是合式公式；
(2)如果A是合式公式，则也是合式公式；
(3)如果A，B是合式公式，则，，，也是合式公式；
(4)只有有限次地应用(1)～(3)组成的符号串才是合式公式。
今后我们将合式公式称为命题公式，或简称为公式。
为方便起见，规定，等的外层括号可以省去。在公式的定义中，引进了A，B等符号，它们代表任意的命题公式，称它们为元语言符号。
根据定义，，，等都是命题公式，但等都不是命题公式。
所谓元语言，是用来说明对象语言的语言，而对象语言是指用来描述所研究的对象(指数理逻辑)的语言。
例 用定义说明是公式。
解 ①是公式 由(1)
②是公式 由(1)
③是公式 由①、②、(3)
④是公式 由①、③、(3)
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